\subsection{斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角}\label{subsec:1-10}

自一点向平面引垂线，垂足叫做\zhongdian{这点在这个平面上的射影}。
这个点与垂足间的线段叫做\zhongdian{这点到这个平面的垂线段}。

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做\zhongdian{这个平面的斜线}，
斜线和平面的交点叫做\zhongdian{斜足}。
斜线上一点与斜足间的线段叫做\zhongdian{这点到这个平面的斜线段}。

过斜线上的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做\zhongdian{斜线在这个平面上的射影}，
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的\zhongdian{斜线段在这个平面上的射影}。
斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。

如图 \ref{fig:ltjh-1-30}，对于平面 $\alpha$，直线 $AB$ 是垂线，垂足 $B$ 是点 $A$ 的射影；
直线 $AC$ 是斜线，$C$ 是斜足，直线 $BC$ 是斜线 $AC$ 的射影；
线段 $AB$ 是垂线段，线段 $AC$ 是斜线段，线段 $BC$ 是斜线段 $AC$ 的射影。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/ltjh-ch1-30.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-1-30}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/ltjh-ch1-31.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-1-31}
    \end{minipage}
\end{figure}

根据直角三角形性质，我们很容易得到：

\begin{dingli}[定理][dl:pmwyd-cxd-xxd]
    从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，

    （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

    （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

    （3）垂线段比任何一条斜线段都短。
\end{dingli}

如图 \ref{fig:ltjh-1-31}，$AO$ 是平面 $\alpha$ 的垂线段，$AB$、$AC$ 是平面 $\alpha$ 的斜线段，
$OB$、$OC$ 分别是 $AB$、$AC$ 在平面 $\alpha$ 上的射影。这时有：

（1） \begin{zmtblr}[t]{}
    $OB = OC  \tuichu  AB = AC$， \\
    $OB > OC  \tuichu  AB > AC$；
\end{zmtblr}

（2）\begin{zmtblr}[t]{}
    $AB = AC  \tuichu  OB = OC$， \\
    $AB > AC  \tuichu  OB > OC$；
\end{zmtblr}

（3）$AO < AB$， $AO < AC$。

下面研究直线与平面所成的角。 例如，发射炮弹时，炮筒和地平面所成的角。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做\zhongdian{这条直线和这个平面所成的角}（图 \ref{fig:ltjh-1-32}）。

一条直线垂直于平面，我们说它们\zhongdian{所成的角是直角}；
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们\zhongdian{所成的角是 $\bm{0^\circ}$的角}。

可以证明，\zhongdian{斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。}

如图 \ref{fig:ltjh-1-32}， $l$ 是平面 $\alpha$ 的斜线，$A$ 是 $l$ 上任意一点，
$AB$ 是平面 $\alpha$ 的垂线，$B$ 是垂足，所以直线 $OB$ 是斜线 $l$ 的射影，
$\angle \theta$ 是斜线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角。
设 $OD$ 是平面 $\alpha$ 内与 $OB$ 不同的任意一条直线，$AC$ 垂直于 $OD$，垂足为 $C$。
因为垂线段 $AB$ 小于斜线段 $AC$，所以在有公共斜边 $OA$ 的直角三角形 $OAB$、$OAC$ 中，
$\sin\theta < \sin AOC$。 因此 $\angle \theta < \angle AOC$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{../pic/ltjh-ch1-32.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-1-32}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{../pic/ltjh-ch1-33.png}
        \caption{}\label{fig:ltjh-1-33}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti[0] 两条斜线段 $PA$、$PB$ 和平面 $\alpha$ 所成的角相等的充要条件是 $PA = PB$。

已知：$PA$、$PB$ 是平面 $\alpha$ 的两条斜线段，$PO$ 是垂线段（图 \ref{fig:ltjh-1-33}）。

求证：$\angle PAO = \angle PBO  \dengjiayu  PA = PB$。

\zhengming （1）先证 $\angle PAO = \angle PBO  \tuichu  PA = PB$。

\jiange
$\left.\begin{aligned}
    \left.\begin{aligned}
        PO \perp \alpha \\
        OA \subset \alpha \\
        OB \subset \alpha
    \end{aligned}\right\}  \tuichu  \left\{\begin{aligned}
        PO \perp OA \\
        PO \perp OB
    \end{aligned}\right. \\
    PO = PO \\
    \angle PAO = \angle PBO
\end{aligned}\right\}  \tuichu  Rt \triangle PAO \quandeng Rt \triangle PBO  \tuichu  PA = PB \juhao$

\jiange
（2）再证 $PA = PB  \tuichu  \angle PAO = \angle PBO$。

类似地，由 $PA = PB$ 可证 $Rt \triangle PAO \quandeng Rt \triangle PBO$，于是得
$$\angle PAO = \angle PBO \juhao$$

$\therefore$ \quad $\angle PAO = \angle PBO  \dengjiayu  PA = PB$。


\begin{lianxi}

\xiaoti{将本节的\hyperref[dl:pmwyd-cxd-xxd]{定理}中的（1）、（2）改为用充要条件来叙述。}

\xiaoti{已知斜线段的长是它在平面 $\alpha$上射影的 2 倍，求斜线和平面 $\alpha$ 所成的角。}

\xiaoti{两条直线和一个平面所成的角相等，它们平行吗？}

\end{lianxi}
